Numpy 线性代数
在线性代数的范畴里，矩阵运算有很多不一样的地方，例如內积、行列式、逆运算等等。
Numpy 提供了一系列可以用于线性代数运算的函数，具体如下：
| 函数 | 描述 |
|---|---|
| dot | 两个数组的点积，即元素对应相乘。 |
| vdot | 两个向量的点积 |
| inner | 两个数组的内积 |
| matmul | 两个数组的矩阵积 |
| determinant | 数组的行列式 |
| solve | 求解线性矩阵方程 |
| inv | 计算矩阵的乘法逆矩阵 |
1. 二元运算
1.1 numpy.dot 函数
对于两个一维数组，dot() 函数计算的是这两个数组对应下标元素的乘积和，也称之为內积。对于二维数组，计算的是两个数组的矩阵乘积。
案例
创建两个一维数组 a 和 b：
a = np.array([, , , ])b = np.array([, , , ])
计算一维数组的內积：
np.dot(a, b)out:
创建两个二维数组：
A = np.array([[, , ], [, , ]])B = np.array([[, ], [, ], [, ]])
计算二维数组的矩阵乘积：
np.dot(A, B)out:array([[, ], [, ]])
可以发现，对二维数组，矩阵的乘积满足如下规律：m×p的矩阵A，p×n的矩阵B，其矩阵乘积结果为大小为m×n的矩阵。
1.2 numpy.vdot 函数
numpy.vdot() 函数是求两个向量的点积，即对应位置的元素乘积求和。
案例
创建大小为 3×2 的矩阵 C：
C = np.array([[, ], [, ], [, ]])
求解点积：
np.vdot(B, C)out:
如果对于两个维度不一致的矩阵进行点积运算：
np.vdot(A, B)out:
观察发现，对于维度不一致的矩阵，如果其元素个数相等，则可以进行 vdot 点积运算；因为在 vdot运算过程中，会首先将矩阵展开。
1.3 numpy.inner 函数
numpy.inner() 函数返回一维数组的向量内积。对于更高的维度，它返回最后一个轴上的元素乘积之和。
案例
对大小为 3×2 的矩阵 B、C，求其內积：
np.inner(B, C)out:array([[ , , ], [, , ], [, , ]])
上述內积的计算过程为：
[*+*=, *+*=, *+*=*+*=, *+*=, *+*=*+*=, *+*=, *+*=]
1.4 numpy.matmul函数
numpy.matmul 函数返回两个数组的矩阵乘积。对于二维数组，其计算结果与dot一致。
案例
np.matmul(A, B)out:array([[, ], [, ]])
2. 线性代数求解
Numpy 提供了线性代数函数库 linalg，该库包含了求解线性代数问题所需的常用功能。
2.1 行列式
numpy.linalg.det() 函数计算输入矩阵的行列式。
行列式在线性代数中是非常有用的值。 它从方阵的对角元素计算。 对于 2×2 矩阵，它是左上和右下元素的乘积与其他两个的乘积的差。换句话说，对于矩阵 [[a，b]，[c，d]]，行列式计算为 ad-bc。 较大的方阵被认为是 2×2 矩阵的组合。
案例
M = np.array([[, , ], [, -, ], [, , ]]) M out:array([[ , , ], [ , -, ], [, , ]])
求解矩阵 M 的行列式：
np.linalg.det(M)out:-
2.2 方程组的解
numpy.linalg.solve() 函数给出了矩阵形式的线性方程的解。
案例
对于如下方程组：
x + y + z =10 2x + y = 6 3y -2z = 2
将方程组转化为矩阵形式：Ax=b，则有：
A = np.array([[, , ], [, , ], [, , -]])b = np.array([[], [], []])
求解方程组：
np.linalg.solve(A, b)out:array([[.], [.], [.]])
即上述方程组的解为：x=1，y=4，z=5。
2.3 逆矩阵
numpy.linalg.inv() 函数计算矩阵的乘法逆矩阵。
逆矩阵的概念如下：设 A 是数域上的一个 n 阶矩阵，若在相同数域上存在另一个 n 阶矩阵 B，使得： AB=BA=E ，则我们称 B 是 A 的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。
注意：E 为单位矩阵。
案例
利用逆矩阵，可以换一种思路求解 2.2 中的方程组的解：
对于矩阵 A，假设逆矩阵为 F，则有：x=Fb。因此方程组的解为：
print(计算A的逆矩阵：)F = np.linalg.inv(A)print(A的逆矩阵F:, F)print(方程组的解为：, np.matmul(F, b))
计算过程如下：
计算A的逆矩阵： A的逆矩阵F: [[- -] [ - ] [ - -]]方程组的解为： [[.] [.] [.]]
3. 小结
本节介绍了 Numpy 中与线性代数有关的常用函数，其中重点介绍了內积、点积、求行列式、求逆、求解方程等方法。